淺談Python數學建模之固定費用問題
固定費用問題，是指求解生產成本最小問題時，總成本包括固定成本和變動成本，而選擇不同生產方式會有不同的固定成本，因此總成本與選擇的生產方式有關。
固定費用問題，實際上是互斥的目標函數問題，對于不同的生產方式具有多個互斥的目標函數，但只有一個起作用。固定費用問題不能用一般的線性規劃模型求解。
一般地，設有 m 種生產方式可供選擇，采用第 j 種方式時的固定成本為 (K_j)、變動成本為 (c_j)、產量為 (x_j)，則采用各種生產方式的總成本分別為：
該類問題的建模方法，為了構造統一的目標函數，可以引入 m 個 0-1 變量 y_j 表示是否采用第 j 種生產方式：
于是可以構造新的目標函數和約束條件：
M 是一個充分大的常數。
1.2、案例問題描述例題 1：
某服裝廠可以生產 A、B、C 三種服裝，生產不同種類服裝需要租用不同設備，設備租金、生產成本、銷售價格等指標如下表所示。
服裝種類 設備租金 材料成本 銷售價格 人工工時 設備工時 設備可用工時 單位 （元） （元/件） （元/件） （小時/件） （小時/件） （小時） A 5000 280 400 5 3 300 B 2000 30 40 1 0.5 300 C 2000 200 300 4 2 300如果各類服裝的市場需求都足夠大，服裝廠每月可用人工時為 2000h，那么應該如何安排生產計劃使利潤最大？
1.3、建模過程分析首先要理解生產某種服裝就會發生設備租金，租金只與是否生產該產品有關，而與生產數量無關，這就是固定成本。因此本題屬于固定費用問題。
有些同學下意識地認為是從 3 種產品中選擇一種，但題目中并沒有限定必須或只能生產一種產品，因此決策結果可以是都不生產、選擇 1 種或 2 種產品、3 種都生產。
決策結果會是什么都不生產嗎？有可能的。
每種產品的利潤：（銷售價格 - 材料成本）× 生產數量 - 設備租金
本題中如果設備租金很高，決策結果就可能是什么都不做時利潤最大，這是利潤為 0，至少不虧。
現在可以用固定費用問題的數學模型來描述問題了：
編程求解建立的數學模型，用標準模型的優化算法對模型求解，得到優化結果。
模型求解的編程步驟與之前的線性規劃、整數規劃問題并沒有什么區別，這就是 PuLP工具包的優勢。
（0）導入 PuLP庫函數
import pulp
（1）定義一個規劃問題
FixedCostP1 = pulp.LpProblem('Fixed_cost_problem', sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值
pulp.LpProblem 用來定義問題的構造函數。'FixedCostP1'是用戶定義的問題名。參數 sense 指定問題求目標函數的最小值/最大值 。本例求最大值，選擇 “pulp.LpMaximize” 。
（2）定義決策變量
x1 = pulp.LpVariable(’A’, cat=’Binary’) # 定義 x1，0-1變量，是否生產 A 產品x2 = pulp.LpVariable(’B’, cat=’Binary’) # 定義 x2，0-1變量，是否生產 B 產品x3 = pulp.LpVariable(’C’, cat=’Binary’) # 定義 x3，0-1變量，是否生產 C 產品y1 = pulp.LpVariable(’yieldA’, lowBound=0, upBound=100, cat=’Integer’) # 定義 y1，整型變量y2 = pulp.LpVariable(’yieldB’, lowBound=0, upBound=600, cat=’Integer’) # 定義 y2，整型變量y3 = pulp.LpVariable(’youCans’, lowBound=0, upBound=150, cat=’Integer’) # 定義 y3，整型變量
pulp.LpVariable 用來定義決策變量的函數。參數 cat 用來設定變量類型，’ Binary ’ 表示0/1變量（用于0/1規劃問題），’ Integer ’ 表示整數變量。’lowBound’、’upBound’ 分別表示變量取值范圍的下限和上限。
（3）添加目標函數
FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3) # 設置目標函數 f(x)
（4）添加約束條件
FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000) # 不等式約束FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0) # 不等式約束FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0) # 不等式約束FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0) # 不等式約束
添加約束條件使用 '問題名 += 約束條件表達式' 格式。約束條件可以是等式約束或不等式約束，不等式約束可以是 小于等于 或 大于等于，分別使用關鍵字'>='、'<='和'=='。
（5）求解
FixedCostP1.solve()
solve() 是求解函數，可以對求解器、求解精度進行設置。
1.5、Python 例程：固定費用問題import pulp # 導入 pulp 庫# 主程序def main(): # 固定費用問題(Fixed cost problem) print('固定費用問題(Fixed cost problem)') # 問題建模： '''決策變量： y(i) = 0, 不生產第 i 種產品 y(i) = 1, 生產第 i 種產品x(i), 生產第 i 種產品的數量, i>=0 整數 i=1,2,3目標函數： min profit = 120x1 + 10x2+ 100x3 - 5000y1 - 2000y2 - 2000y3約束條件： 5x1 + x2 + 4x3 <= 2000 3x1 <= 300y1 0.5x2 <= 300y2 2x3 <= 300y3變量取值范圍：Youcans XUPT 0<=x1<=100, 0<=x2<=600, 0<=x3<=150, 整數變量 y1, y2 ,y3 為 0/1 變量 ''' # 1. 固定費用問題(Fixed cost problem), 使用 PuLP 工具包求解 # (1) 建立優化問題 FixedCostP1: 求最大值(LpMaximize) FixedCostP1 = pulp.LpProblem('Fixed_cost_problem_1', sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值 # (2) 建立變量 x1 = pulp.LpVariable(’A’, cat=’Binary’) # 定義 x1，0-1變量，是否生產 A 產品 x2 = pulp.LpVariable(’B’, cat=’Binary’) # 定義 x2，0-1變量，是否生產 B 產品 x3 = pulp.LpVariable(’C’, cat=’Binary’) # 定義 x3，0-1變量，是否生產 C 產品 y1 = pulp.LpVariable(’yieldA’, lowBound=0, upBound=100, cat=’Integer’) # 定義 y1，整型變量 y2 = pulp.LpVariable(’yieldB’, lowBound=0, upBound=600, cat=’Integer’) # 定義 y2，整型變量 y3 = pulp.LpVariable(’yieldC’, lowBound=0, upBound=150, cat=’Integer’) # 定義 y3，整型變量 # (3) 設置目標函數 FixedCostP1 += pulp.lpSum(-5000*x1-2000*x2-2000*x3+120*y1+10*y2+100*y3) # 設置目標函數 f(x) # (4) 設置約束條件 FixedCostP1 += (5*y1 + y2 + 4*y3 <= 2000) # 不等式約束 FixedCostP1 += (3*y1 - 300*x1 <= 0) # 不等式約束 FixedCostP1 += (0.5*y2 - 300*x2 <= 0) # 不等式約束 FixedCostP1 += (2*y3 - 300*x3 <= 0) # 不等式約束 # (5) 求解 youcans FixedCostP1.solve() # (6) 打印結果 print(FixedCostP1.name) if pulp.LpStatus[FixedCostP1.status] == 'Optimal': # 獲得最優解for v in FixedCostP1.variables(): # youcans print(v.name, '=', v.varValue) # 輸出每個變量的最優值print('Youcans F(x) = ', pulp.value(FixedCostP1.objective)) # 輸出最優解的目標函數值 returnif __name__ == ’__main__’: # Copyright 2021 YouCans, XUPT main() 1.6、Python 例程運行結果
Welcome to the CBC MILP Solver
Version: 2.9.0
Build Date: Feb 12 2015
Result - Optimal solution found
Fixed_cost_problem_1
A = 1.0
B = 1.0
C = 1.0
yieldA = 100.0
yieldB = 600.0
yieldC = 150.0
Max F(x) = 24000.0
從固定費用問題模型的求解結果可知，A、B、C 三種服裝都生產，產量分別為 A/100、B/600、C/150 時獲得最大利潤為：24000。
二、PuLP 求解規劃問題的快捷方法2.1、PuLP 求解固定費用問題的編程通過從線性規劃、整數規劃、0-1規劃到上例中的混合0-1規劃問題，我們已經充分體會到 PuLP 使用相同的步驟和參數處理不同問題所帶來的便利。
但是，如果問題非常復雜，例如變量數量很多，約束條件復雜，逐個定義變量、逐項編寫目標函數與約束條件的表達式，不僅顯得重復冗長，不方便修改對變量和參數的定義，而且在輸入過程中容易發生錯誤。因此，我們希望用字典、列表、循環等快捷方法來進行變量定義、目標函數和約束條件設置。
PuLP 提供了快捷建模的編程方案，下面我們仍以上節中的固定費用問題為例進行介紹。本例中的問題、條件和參數都與上節完全相同，以便讀者進行對照比較快捷方法的具體內容。
（0）導入 PuLP 庫函數
import pulp
（1）定義一個規劃問題
FixedCostP2 = pulp.LpProblem('Fixed_cost_problem', sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值
（2）定義決策變量
types = [’A’, ’B’, ’C’] # 定義產品種類status = pulp.LpVariable.dicts('生產決策', types, cat=’Binary’) # 定義 0/1 變量，是否生產該產品yields = pulp.LpVariable.dicts('生產數量', types, lowBound=0, upBound=600, cat=’Integer’) # 定義整型變量
本例中的快捷方法使用列表 types 定義 0/1 變量 status 和 整型變量 yields，不論產品的品種有多少，都只有以上幾句，從而使程序大為簡化。
（3）添加目標函數
fixedCost = {’A’:5000, ’B’:2000, ’C’:2000} # 各產品的 固定費用unitProfit = {’A’:120, ’B’:10, ’C’:100} # 各產品的 單位利潤FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types])
雖然看起來本例中定義目標函數的程序語句較長，但由于使用字典定義參數、使用 for 循環定義目標函數，因此程序更加清晰、簡明、便于修改參數、不容易輸入錯誤。
（4）添加約束條件
humanHours = {’A’:5, ’B’:1, ’C’:4} # 各產品的 單位人工工時machineHours = {’A’:3.0, ’B’:0.5, ’C’:2.0} # 各產品的 單位設備工時maxHours = {’A’:300, ’B’:300, ’C’:300} # 各產品的 最大設備工時FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000 # 不等式約束for i in types: FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0) # 不等式約束
快捷方法對于約束條件的定義與對目標函數的定義相似，使用字典定義參數，使用循環定義約束條件，使程序簡單、結構清楚。
注意本例使用了兩種不同的循環表達方式：語句內使用 for 循環遍歷列表實現所有變量的線性組合，標準的 for 循環結構實現多組具有相似結構的約束條件。讀者可以對照數學模型及上例的例程，理解這兩種定義約束條件的快捷方法。
（5）求解和結果的輸出
# (5) 求解FixedCostP2.solve()# (6) 打印結果print(FixedCostP2.name)temple = '品種 %(type)s 的決策是：%(status)s，生產數量為：%(yields)d'if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == 'Optimal': # 獲得最優解 for i in types:output = {’type’: i, ’status’: ’同意’ if status[i].varValue else ’否決’, ’yields’: yields[i].varValue}print(temple % output) # youcans@qq.com print('最大利潤 = ', pulp.value(FixedCostP2.objective)) # 輸出最優解的目標函數值
由于快捷方法使用列表或字典定義變量，對求解的優化結果也便于實現結構化的輸出。
2.2、Python 例程：PuLP 快捷方法import pulp # 導入 pulp 庫# 主程序def main(): # 2. 問題同上，PuLP 快捷方法示例 # (1) 建立優化問題 FixedCostP2: 求最大值(LpMaximize) FixedCostP2 = pulp.LpProblem('Fixed_cost_problem_2', sense=pulp.LpMaximize) # 定義問題，求最大值 # (2) 建立變量 types = [’A’, ’B’, ’C’] # 定義產品種類 status = pulp.LpVariable.dicts('生產決策', types, cat=’Binary’) # 定義 0/1 變量，是否生產該產品 yields = pulp.LpVariable.dicts('生產數量', types, lowBound=0, upBound=600, cat=’Integer’) # 定義整型變量 # (3) 設置目標函數 fixedCost = {’A’:5000, ’B’:2000, ’C’:2000} # 各產品的 固定費用 unitProfit = {’A’:120, ’B’:10, ’C’:100} # 各產品的 單位利潤 FixedCostP2 += pulp.lpSum([(yields[i]*unitProfit[i]- status[i]*fixedCost[i]) for i in types]) # (4) 設置約束條件 humanHours = {’A’:5, ’B’:1, ’C’:4} # 各產品的 單位人工工時 machineHours = {’A’:3.0, ’B’:0.5, ’C’:2.0} # 各產品的 單位設備工時 maxHours = {’A’:300, ’B’:300, ’C’:300} # 各產品的 最大設備工時 FixedCostP2 += pulp.lpSum([humanHours[i] * yields[i] for i in types]) <= 2000 # 不等式約束 for i in types:FixedCostP2 += (yields[i]*machineHours[i] - status[i]*maxHours[i] <= 0) # 不等式約束 # (5) 求解 youcans FixedCostP2.solve() # (6) 打印結果 print(FixedCostP2.name) temple = '品種 %(type)s 的決策是：%(status)s，生產數量為：%(yields)d' if pulp.LpStatus[FixedCostP2.status] == 'Optimal': # 獲得最優解for i in types: output = {’type’: i, ’status’: ’同意’ if status[i].varValue else ’否決’, ’yields’: yields[i].varValue} print(temple % output)print('最大利潤 = ', pulp.value(FixedCostP2.objective)) # 輸出最優解的目標函數值 returnif __name__ == ’__main__’: # Copyright 2021 YouCans, XUPT main() 2.3、Python 例程運行結果
Welcome to the CBC MILP Solver
Version: 2.9.0
Build Date: Feb 12 2015
Result - Optimal solution found
Fixed_cost_problem_2
品種 A 的決策是：同意，生產數量為：100
品種 B 的決策是：同意，生產數量為：600
品種 C 的決策是：同意，生產數量為：150
最大利潤 = 24000.0
本例的問題、條件和參數都與上節完全相同，只是采用 PuLP 提供的快捷建模的編程方案，優化結果也與 PuLP 標準方法完全相同，但本例使用了結構化的輸出顯示，使輸出結果更為直觀。
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