粒子群算法

粒子群算法源于復雜適應系統（Complex Adaptive System,CAS）。CAS理論于1994年正式提出，CAS中的成員稱為主體。比如研究鳥群系統，每個鳥在這個系統中就稱為主體。主體有適應性，它能夠與環境及其他的主體進行交流，并且根據交流的過程“學習”或“積累經驗”改變自身結構與行為。整個系統的演變或進化包括：新層次的產生（小鳥的出生）；分化和多樣性的出現（鳥群中的鳥分成許多小的群）；新的主題的出現（鳥尋找食物過程中，不斷發現新的食物）。

PSO初始化為一群隨機粒子(隨機解)。然后通過迭代找到最優解。在每一次的迭代中，粒子通過跟蹤兩個“極值”(pbest,gbest)來更新自己。在找到這兩個最優值后，粒子通過下面的公式來更新自己的速度和位置。

i 表示第 i 個粒子， d 表示粒子的第 d 個維度。r1, r2 表示兩個位于 [0, 1] 的隨機數（對于一個粒子的不同維度，r1, r2 的值不同）。pbest[i] 是指粒子取得最高（低）適應度時的位置，gbest[i] 指的是整個系統取得最高（低）適應度時的位置。

實踐

我們用 PSO 算法求解如下函數的最小值

可以在空間畫出圖像

下圖是使用 5 個粒子的收斂情況

可以看到，fitness 在第 12 輪就幾乎收斂到 -10.0。

下面是完整代碼

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom mpl_toolkits.mplot3d import Axes3DINF = 1e5def plot_cost_func(): '''畫出適應度函數''' fig = plt.figure() ax = Axes3D(fig) X = np.arange(-4, 4, 0.25) Y = np.arange(-4, 4, 0.25) X, Y = np.meshgrid(X, Y) Z = (X**2 + Y**2) - 10 ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap=’rainbow’) plt.show()def fitness(x): return x[0]**2 + x[1]**2 - 10class PSOSolver(object): def __init__(self, n_iter, weight=0.5, c1=2, c2=2, n_particle=5): self.n_iter = n_iter self.weight = weight self.c1 = c1 self.c2 = c2 self.n_particle = n_particle self.gbest = np.random.rand(2) # gbest 對應的函數值 self.gbest_fit = fitness(self.gbest) # 將位置初始化到 [-5, 5] self.location = 10 * np.random.rand(n_particle, 2) - 5 # 將速度初始化到 [-1, 1] self.velocity = 2 * np.random.rand(n_particle, 2) - 1 self.pbest_fit = np.tile(INF, n_particle) self.pbest = np.zeros((n_particle, 2)) # 記錄每一步的最優值 self.best_fitness = [] def new_velocity(self, i): r = np.random.rand(2, 2) v = self.velocity[i] x = self.location[i] pbest = self.pbest[i] return self.weight * v + self.c1 * r[0] * (pbest - x) + self.c2 * r[1] * (self.gbest - x) def solve(self): for it in range(self.n_iter): for i in range(self.n_particle):v = self.new_velocity(i)x = self.location[i] + vfit_i = fitness(x)if fit_i < self.pbest_fit[i]: self.pbest_fit[i] = fit_i self.pbest[i] = x if fit_i < self.gbest_fit: self.gbest_fit = fit_i self.gbest = xself.velocity[i] = vself.location[i] = x self.best_fitness.append(self.gbest_fit) if __name__ == ’__main__’: plot_cost_func() n_iter = 20 s = PSOSolver(n_iter) s.solve() print(s.gbest_fit) plt.title('Fitness Curve') plt.xlabel('iter') plt.ylabel('fitness') plt.plot(np.arange(n_iter), np.array(s.best_fitness)) plt.show()

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