堆排序

堆排序是利用堆這種數據結構而設計的一種排序算法，堆排序是一種選擇排序，它的最壞，最好，平均時間復雜度均為O(nlogn)，它也是不穩定排序。首先簡單了解下堆結構。

堆

堆是具有以下性質的完全二叉樹：每個結點的值都大于或等于其左右孩子結點的值，稱為大頂堆；或者每個結點的值都小于或等于其左右孩子結點的值，稱為小頂堆。如下圖：

同時，我們對堆中的結點按層進行編號，將這種邏輯結構映射到數組中就是下面這個樣子

該數組從邏輯上講就是一個堆結構，我們用簡單的公式來描述一下堆的定義就是：

大頂堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小頂堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

ok，了解了這些定義。接下來，我們來看看堆排序的基本思想及基本步驟：

堆排序的基本思想是：將待排序序列構造成一個大頂堆，此時，整個序列的最大值就是堆頂的根節點。將其與末尾元素進行交換，此時末尾就為最大值。然后將剩余n-1個元素重新構造成一個堆，這樣會得到n個元素的次小值。如此反復執行，便能得到一個有序序列了

步驟一 構造初始堆。將給定無序序列構造成一個大頂堆（一般升序采用大頂堆，降序采用小頂堆)。

1.假設給定無序序列結構如下

2.此時我們從最后一個非葉子結點開始（葉結點自然不用調整，第一個非葉子結點 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6結點），從左至右，從下至上進行調整。

3.找到第二個非葉節點4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交換。

這時，交換導致了子根[4,5,6]結構混亂，繼續調整，[4,5,6]中6最大，交換4和6。

此時，我們就將一個無需序列構造成了一個大頂堆。

步驟二 將堆頂元素與末尾元素進行交換，使末尾元素最大。然后繼續調整堆，再將堆頂元素與末尾元素交換，得到第二大元素。如此反復進行交換、重建、交換。

a.將堆頂元素9和末尾元素4進行交換

b.重新調整結構，使其繼續滿足堆定義

后續過程，繼續進行調整，交換，如此反復進行，最終使得整個序列有序

再簡單總結下堆排序的基本思路：

a.將無需序列構建成一個堆，根據升序降序需求選擇大頂堆或小頂堆;

b.將堆頂元素與末尾元素交換，將最大元素'沉'到數組末端;

c.重新調整結構，使其滿足堆定義，然后繼續交換堆頂元素與當前末尾元素，反復執行調整+交換步驟，直到整個序列有序。

package sortdemo;import java.util.Arrays;/** * Created by chengxiao on 2016/12/17. * 堆排序demo */public class HeapSort { public static void main(String []args){ int []arr = {9,8,7,6,5,4,3,2,1}; sort(arr); System.out.println(Arrays.toString(arr)); } public static void sort(int []arr){ //1.構建大頂堆 for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){ //從第一個非葉子結點從下至上，從右至左調整結構 adjustHeap(arr,i,arr.length); } //2.調整堆結構+交換堆頂元素與末尾元素 for(int j=arr.length-1;j>0;j--){ swap(arr,0,j);//將堆頂元素與末尾元素進行交換 adjustHeap(arr,0,j);//重新對堆進行調整 } } /** * 調整大頂堆（僅是調整過程，建立在大頂堆已構建的基礎上） * @param arr * @param i * @param length */ public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){ int temp = arr[i];//先取出當前元素i for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){//從i結點的左子結點開始，也就是2i+1處開始 if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){//如果左子結點小于右子結點，k指向右子結點 k++; } if(arr[k] >temp){//如果子節點大于父節點，將子節點值賦給父節點（不用進行交換） arr[i] = arr[k]; i = k; }else{ break; } } arr[i] = temp;//將temp值放到最終的位置 } /** * 交換元素 * @param arr * @param a * @param b */ public static void swap(int []arr,int a ,int b){ int temp=arr[a]; arr[a] = arr[b]; arr[b] = temp; }}

結果

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

堆排序是一種選擇排序，整體主要由構建初始堆+交換堆頂元素和末尾元素并重建堆兩部分組成。其中構建初始堆經推導復雜度為O(n)，在交換并重建堆的過程中，需交換n-1次，而重建堆的過程中，根據完全二叉樹的性質，[log2(n-1),log2(n-2)...1]逐步遞減，近似為nlogn。所以堆排序時間復雜度一般認為就是O(nlogn)級。

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